Az osztrák származású karmester a Linz-i Bruckner Konzervatóriumban kezdte zenei tanulmányait, majd a Bécsi Zeneakadémián végzett Hans Swarowski tanítványaként. Nemzetközi karrierje 1965-ben indult, amikor megnyerte a Koppenhágai Nicolai Malko Karmesterversenyt, majd egy évvel később az osztrák kulturális miniszter neki adományozta a Mozart Interpretációs Díjat. A hetvenes évektől Maestro Weikert a világ leghíresebb zenekarait vezényelte, egymás után kapta a felkéréseket olyan dalszínházaktól, mint a Bécsi Staatsoper, a Deutsche Oper Berlin, a Müncheni Operaház, a San Fransisco Opera és Metropolitan Opera. 1977-től a Bonni Operaház Főzeneigazgatója volt, majd a Frankfurti Opera ügyvezető Zeneigazgatója, később a Salzburgi Landestheater és a Mozarteum Orchestra vezető karmestere. 1983-tól majdnem egy évtizeden át irányította Főzeneigazgatóként a Zürichi Operaház művészeti munkáját. Diszkográfiája és tévéfelvételeinek listája szinte felsorolhatatlanul hosszú, egyik leghíresebb hangfelvétele Rossini Sevillai borbély című műve Edita Gruberovával. 

2006-ban Maestro Weikert elvállalta az ausztriai Welsi Wagner Fesztivál zeneigazgatói pozícióját, azóta komolyan elmélyült a Wagner repertoárban, vezényelte a Parsifalt, a Trisztán és Izoldát, A bolygó hollandit és a Walkürt. Ebben a szezonban számtalan európai koncert mellett Mozart művét, A varázsfuvolát dirigálja a Tokiói Nemzeti Operában, valamint Wagner Tannhäuserjét a Welsi Fesztiválon.