Az Oroszországban született Alekszej Kulagin ének szakon szerzett diplomát a Szentpétervári Konzervatóriumban, ahol Prof. Nyikolaj Ohotnyikov és Edem Umerov irányítása alatt tanult. Ezzel párhuzamosan az Orjoli Állami Egyetem Gazdálkodási Karán is folytatott tanulmányokat. 2019 szeptembere óta a Bolsoj Színház Ifjú Művész Programjának tagja, ahol Dmitrij Vdovin irányításával dolgozik. 2022-ben részt vett a Salzburgi Ünnepi Játékok Young Singers Project programjában, ahol fesztiváldebütálását is megtette.
Alekszej mesterkurzusokon vett részt többek között Makvala Kasrashvili, Neil Shicoff, Evamaria Wieser, Robert Körner, Szergej Leiferkus, Ernesto Palacio, Plácido Domingo, Ildar Abdrazakov és Rosetta Cucchi vezetésével. Koncerteken lépett fel Luba Orfenova, Szemjon Skigin, Ivari Ilja és Mzia Bakhtouridze közreműködésével a Bolsoj Beethoven-termében. Fellépett a Bolsoj Színház történelmi és új színpadán, a barcelonai Gran Teatre del Liceuban, a Magyar Állami Operaházban, a Tbiliszi Grúz Nemzeti Operában és Balettszínházban, a moszkvai Zarjagyje Hangversenyteremben, a Moszkvai Konzervatórium Nagytermében, a salzburgi Haus für Mozartban, valamint a Szentpétervári Filharmóniában.
Repertoárján szerepel René király és Bertrand Csajkovszkij Iolanta című operájában, Szobakin A cár menyasszonya című operában, Gremin herceg az Anyeginben, Gyed Moroz és Bermjata a Hóleányban, Simone a Gianni Schicchiben, Aleko és az Öreg cigány Rahmanyinov Aleko című művében, Masetto a Don Giovanniban, valamint Angelotti a Toscában. Hangversenyeken Mozart Requiemjében és Schubert II. misejében is fellépett.
Dolgozott többek között olyan karmesterekkel, mint Tugan Szohijev, Franz Welser-Möst, Alekszandr Szolovjov, Dmitrij Korcsak, Mihail Szinkevics, Filipp Csizsevszkij, Anton Grisanyin, Mihail Tatarnyikov, Pavel Bubelnyikov és Konsztantyin Csudovszkij, valamint olyan rendezőkkel, mint Christof Loy, Alekszandr Petrov, Alekszej Sztepanyuk és Dmitrij Beljanuskin.
A 2025/2026-os évad kiemelt fellépései közé tartozik a Turandot és a Pillangókisasszony a drezdai Semperoperben.
Számos díjjal ismerték el munkáját, többek között a budapesti 5. Éva Marton Nemzetközi Énekverseny II. díjával (2022), az 59. Tenor Viñas Nemzetközi Énekverseny IV. díjával (Barcelona, 2022), a THE OPERA CROWN Nemzetközi Énekverseny I. díjával (Tbiliszi, 2021), a VIII. Galina Visnyevszkaja Nemzetközi Operaénekes Verseny I. díjával (Moszkva, 2021), a XIII. Elena Obrazcova Nemzetközi Fiatal Operaénekes Verseny II. díjával (Szentpétervár, 2021), valamint a „José Carreras Grand Prix” Nemzetközi Énekverseny I. díjával (Moszkva, 2021).
